1. Allgemeine Begriffe und Verfahren zur Darstellung von Körpern

Projektion und Axonometrie

Zur räumlichen Darstellung von Körpern ist es nicht erforderlich, die Darstellungen als Projektionen im mathematischen Sinne zu erfassen. Kenntnisse zu Projektionen sollten deshalb im Mathematikunterricht nur mit einem geringen Grad der Qualität vermittelt werden und nicht zum sicheren Wissen und Können gehören. Die Schüler sollten mindestens eine Vorschrift zur Anfertigung einer räumlichen Darstellung sicher kennen und anwenden können. Für diese Vorschrift sollte keine spezielle Bezeichnung eingeführt werden.

Bild, Schrägbild, Normalbild, Grundriss, Aufriss, Zweitafelbild, Ansicht, Perspektive

Wegen dem meist eingeengten Verständnis des Wortes „Schrägbild“ und der schwierigen Unterscheidung von Bildern bei schrägen und senkrechten Projektionen, sollte das Wort „Schrägbild“ nicht zum sicheren Wissen und Können gehören. Es wird als ausreichend angesehen, nur vor einer „räumlichen Darstellung“ eines Körpers zu sprechen. Darunter sollten alle Bilder bei Projektionen verstanden werden, die zu anschaulichen Darstellungen führen, also alle Kanten enthalten und einer bestimmten Sicht auf den Körper entsprechen.

Die Schüler sollten sicher wissen, dass es 6 Ansichten eines Körpers gibt, die einer senkrechten Sicht aus 6 Richtungen entsprechen, wobei die Begrenzungsflächen des Körpers möglich senkrecht zur Blickrichtung sind. Dadurch entstehen in der Regel keine räumlichen Darstellungen, da einige Eckpunkte und Kanten zusammenfallen. Sie sollten die Bezeichnungen Ansicht von vorn (Vorderansicht), Ansicht von oben (Draufsicht) und Ansicht von links bzw. rechts sicher kennen. Die sichere Kenntnis der Wörter Grundriss und Aufriss wird nicht erwartet, da sie in ihrer mathematischen Bedeutung im Alltag eine geringe Rolle spielen.

Verfahren zur Herstellung von räumlichen Darstellungen und Ansichten

Die Schüler können Schrägbilder von Würfeln, Würfelbauten, Quadern und Pyramiden mit quadratischer oder rechteckiger Grundfläche auf Gitterpapier skizzieren und zeichnen. Sie verwenden dabei eine feste Vorschrift zur Bestimmung des Endpunktes einer Tiefenlinie.

Die Schüler haben folgende Kenntnisse über die Anfertigung räumlicher Darstellungen auf weißem Papier und können diese zum Skizzieren oder Zeichnen von Darstellungen elementarer Körpern und einfachen Zusammensetzungen und Zerlegungen anwenden.

• Die Vorderfläche des Körpers wird in wahrer Größe dargestellt.
• Die nach hinten verlaufenden Kanten werden unter einem Winkel von 45 °nach rechts oder nach links und um die Hälfte verkürzt angetragen.
• Die nicht sichtbaren Kanten werden gestrichelt oder dünn gezeichnet. Sie können auch weggelassen werden.

Die Schüler können Ansichten von oben und von vorne von elementarer Körpern und einfachen Zusammensetzungen und Zerlegungen anfertigen. Sie verwenden dabei die gegebenen Maße. Die nicht sichtbaren Kanten werden gestrichelt gezeichnet. Eine Rissachse muss nicht gezeichnet werden. Die Eckpunkte werden in der Regel nicht beschriftet.

Bei allen Darstellungen sind die Schüler daran gewöhnt, sich zuerst die betreffende Ansicht des Körpers vorzustellen und dann mit der Skizze oder Zeichnung zu beginnen.

2. Zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens

Zu den verwendeten Körpern und ihrer Darstellung

Als Körperbeispiele wurden nur folgende verwendet:

1. Elementare Körper: Würfel, Quader, gerader Zylinder, gerade Pyramide (maximal sechsseitig), gerader Kreiskegel, Kugel
2. Einfache gerade Prismen, die in der Praxis auftreten und als Ganzes betrachtet werden sollten: dreiseitiges Prisma (Hausdach), Prisma mir trapezförmiger Grundfläche (Graben, Deich)
3. Einfache, aus elementaren Körpern und einfachen Prismen zusammengesetzte bzw. in solche zerlegbare Körper mit möglichst praktischem Bezug: Winkel, Treppenstufe, Haus mit Dach, Stahlträger (T-, U-förmig)

Bei den verwendeten Darstellungen wurde folgendes beachtet:

• Bei Körpern, die nur ebene Begrenzungsflächen haben (z. B. Würfel, Quader, Prismen) sowie bei liegenden Zylindern ist stets eine Fläche (Vorderfläche) parallel zur Projektionsebene.
• Pyramiden und Kegel werden stets stehend auf der Grundfläche dargestellt. Bei Pyramiden ist stets eine Grundkante parallel zur Projektionsebene.
• In den Schrägbildern sind die Kanten bzw. Linien in Breitenrichtung stets parallel zur unteren Kante des Buches bzw. des Zeichenblattes der Schüler.

Standpunkte zu sicheren Fähigkeiten im Lesen und Herstellen von räumlichen Darstellungen

Die Schüler können sicher

• sich den durch eine räumliche Darstellung gegebenen Körper vorstellen,
• die Blickrichtung identifizieren und durch entsprechendes Nachzeichnen von Kanten realisieren,
• sich die wahre Form der verzerrt dargestellten Seitenflächen vorstellen,
• erkennen, welche Kanten des Körpers (wahrscheinlich) gleich lang und welche Flächen (wahrscheinlich) deckungsgleich sind,
• sich räumliche Darstellungen zu gegeben Ansichten (Grundrissen und Zweitafelbildern) vorstellen um sie zu zeichnen oder zu skizzieren.

Standpunkte zu sicheren Fähigkeiten im Lesen und Herstellen von Ansichten

Die Schüler können sicher

• zu einer gegebenen räumlichen Darstellung eines Körpers seine Ansicht von oben, von vorn oder von einer Seite  identifizieren, vervollständigen, skizzieren oder zeichnen,
• Ansichten von zwei zusammengesetzten Quadern skizzieren,
• eine zweite Ansicht zu einer gegebenen Ansicht eines elementaren Körpers skizzieren.

Standpunkte zu sicheren Fähigkeiten im Arbeiten mit Körpernetzen und Faltungen

Die Schüler können sicher

• einfache Würfelnetze identifizieren, vervollständigen oder zeichnen
• gegenüberliegende Flächen in Würfel- und Quadernetzen identifizieren,
• Netze als Körpernetze identifizieren (nur Quader, Pyramiden, Kegel, dreiseitige Prismen),
• die Form eines einmal gefalteten und dann höchstens dreimal ausgeschnittenen Papierbogens nach dem Auseinanderfalten skizzieren.

Standpunkte zu sicheren Fähigkeiten im Zerlegen und Zusammensetzen von Körpern

Die Schüler können sicher

• einfache Würfelbauten in der Vorstellung zu Quadern vervollständigen,
• zwei zusammengehörende Teile eines Würfels oder Quaders erkennen,
• gefärbte Würfel oder Quader in Gedanken in Teilwürfel zerlegen und die Anzahl bestimmter Arten von Teilwürfel bestimmen.

Standpunkte zu sicheren Fähigkeiten im Erkennen und Herstellen von Rotationen

Die Schüler können sicher

• eine Drehung eines Würfels um eine Achse identifizieren und realisieren,
• einen Würfel zweimal kippen und die oben liegende Augenzahl bestimmen,
• verschiedene, durch eine Rotation entstandene Lagen eines Körper, der aus zwei elementaren Körpern zusammengesetzt ist, identifizieren und realisieren.

Standpunkte zu sicheren Fähigkeiten in der räumlichen Orientierung

Die Schüler können sicher

• die rechte und linke Seite von bis zu zwei kreuzenden Straße identifizieren,
• sich zu einer gegebenen Draufsicht oder Vorderansicht von bis zu drei elementaren Körpern die jeweils andere Ansicht vorstellen und skizzieren,
• Zuordnungen bestimmen zwischen der Darstellung eines Objektes, eines Geländes oder eines Raumes auf einer Zeichnung oder Fotografie auch einer Sicht von oben und einer Sicht von vorn.