In der Jahrgangsstufe 10 des gymnasialen Bildungsganges, also in der Einführungsphase der Gymnasialen Oberstufe, sollte eine Zusammenfassung und Systematisierung der wesentlichen Eigenschaften der bisher behandelten Funktionen erfolgen. Dabei sollten inhaltliche Vorstellungen zu wesentlichen Grundbegriffen der Analysis wie Monotonie, Grenzwert, insbesondere Verhalten im Unendlichen und an Polstellen sowie Extrema entwickelt werden. Auf diese Weise kann die Untersuchung von Funktionen mit Mitteln der Differenzialrechnung in der Qualifikationsphase vorbereitet werden. Dies entspricht dem Vorschlag der Arbeitsgruppe "Gymnasiale Oberstufe Mathematik" (vgl. Handreichung „Ziele und Aufgaben zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe - Klassen 10 – 12“).  

In der zur Verfügung stehenden Zeit können nicht alle bisher behandelten Funktionen mit allen ihren Eigenschaften wiederholt werden. Es sollte deshalb eine Beschränkung auf ausgewählte Prototypen für Funktionsgleichungen und Graphen erfolgen, so dass die Vorstellungen und Kenntnisse zu den genannten Grundbegriffen eng mit diesen Prototypen verbunden sind. Zu den Prototypen sollten die Funktionen mit folgenden Funktionsgleichungen gehören:

y = x      y = x²    y = x³    y = 1/x         y = 1/x²        y = 2^x    y = (1/2)^x

Bei der Modellierung von Sachverhalten und der Angabe von Funktionsgraphen kann ein zusätzlicher Parameter verwendet werden. Für die Begriffe zu Extrema wird auch der Graph einer kubischen Funktion verwendet.

Die Schülerinnen und Schüler

• können reale Sachverhalte durch Funktionen in geeigneter Darstellung beschreiben.
• können das Monotonieverhalten von Funktionen durch dynamische Betrachtungen beschreiben, wenn eine Funktionsgleichung oder ein Funktionsgraph gegeben sind,
• wissen, dass  „8“ das Symbol[1] für „Unendlich“ ist,
• können die Schreibweise x → 8 und x → − 8 und x → x_P  und die entsprechenden Sprechweisen  „x geht gegen ..“ verwenden,
• wissen, dass der Verlauf des Graphen für x → 8 und x→ − 8untersuchtwerden muss, wenn das Verhalten im Unendlichen betrachtet werden soll,
• wissen, dass der Verlauf des Graphen für x → x_P von rechts und linksbetrachtet werden muss, wenn das Verhalten an Polstellen betrachtet werden soll und wissen, dass die Polstellen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden,  
• wissen, dass das Verhalten im Unendlichen und an Polstellen durch Asymptoten beschrieben werden kann,

• können Polstellen, senkrechte und waagerechte Asymptoten in gegebenen Graphen erkennen,

• können bei einem gegebenen Graphen Aussagen über das Verhalten im Unendlichen und an Polstellen formulieren,
• können den Verlauf des Graphen an Polstellen und Asymptoten skizzieren, wenn Aussagen über den Graphen gegeben sind,
• können durch dynamische Betrachtungen an der Funktionsgleichung den Grenzwert einer Funktion im Unendlichen bestimmen,

• wissen, dass Funktionen minimale und maximale Funktionswerte besitzen können, die man
  Extremwerte nennt und dass die entsprechenden x-Werte Extremstellen heißen (Maximumstelle und Minimumstelle),
• wissen, dass Funktionsgraphen Hoch-  und Tiefpunkte besitzen können, die man Extrempunkte nennt,

• können an gegebenen Graphen mit maximal zwei Extrempunkten Maxima, Minima, Hochpunkte bzw. Tiefpunkte ablesen und die Eigenschaften beschreiben,
• können Skizzen von Graphen anfertigen, wenn die Art eines Extremums und die Extremstelle gegeben sind,
• können die Symmetrieeigenschaften von Potenzfunktionen mit den Gleichungen f(x) = f(− x) und f(x) = − f(− x) beschreiben bzw. untersuchen,
• können inhaltliche Betrachtungen zu Umkehrfunktionen anstellen.

[1] Da die Darstellung des Zeichens für Unendlich im Browser nicht möglich ist, wird „8“ verwendet