Bei dynamischen Betrachtungen an Funktionsgraphen in der Analysis müssen drei Veränderungen simultan betrachtet werden.

1. Veränderung der x-Werte: Es handelt sich um eine Bewegung auf der x-Achse, die in beiden Richtungen erfolgen kann. Zur Beschreibung der Veränderung der
   x-Werte können z. B. folgende Formulierungen verwendet werden: x wächst, x wird größer, x strebt gegen plus unendlich, x strebt von rechts gegen die Polstelle, u. a. 
2. Bewegung eines Punktes auf dem Funktionsgraphen: Die Bewegung erfolgt in Abhängigkeit von der Veränderung der zugeordneten x-Werte. Zur Beschreibung der Bewegung des Punktes werden Aussagen über die Eigenschaften des Graphen bzw. der Funktion verwendet, z. B. der Graph steigt, fällt, hat ein Maximum, schmiegt sich der x-Achse an u. a.
3. Veränderung der zugeordneten y-Werte: Es handelt sich um eine Bewegung auf der y-Achse, die in zwei verschiedenen Richtungen erfolgen kann in Abhängigkeit von der Veränderung der Lage des Punktes auf dem Graphen. Zur Beschreibung der Veränderung der y-Werte können z. B. folgende Formulierungen verwendet werden: die Funktion ist monoton steigend, mit wachsendem x wird y größer.

Diese drei simultanen und voneinander abhängigen Veränderungen müssen bei vielen Betrachtungen zu Funktionen unterschieden werden. Dazu gehören u. a. die folgenden Aufgabenstellungen, die bei einem gegebenen Funktionsgraphen bearbeitet werden können.

Untersuchung des Monotonieverhaltens

Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens erfolgt die Bewegung auf der x-Achse immer von links nach rechts. Bei der Beschreibung des Monotonieverhaltens liegen die Betrachtungen und Formulierungen zum Verhalten eines Punktes auf dem Graphen und zur Veränderung der y-Werte sehr dicht beieinander. Das Steigen bzw. Fallen des Graphen ist mit dem Wachsen (größer werden) beziehungsweise Fallen (kleiner werden) der y-Werte eng verbunden. Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens können Extremstellen genutzt werden, um geeignete Intervalle zu finden.

Untersuchung des Verhaltens an Polstellen

Zur Untersuchung des Verhaltens an Polstellen muss die Annäherung der x-Werte stets von beiden Seiten gegen die Polstelle betrachtet werden. Als Formulierung sind z. B. möglich: x nähert sich von links der Polstelle, x strebt von links gegen die Polstelle, u. a.

Zur Beschreibung des Verhaltens des Graphen an der Polstelle sind Kenntnisse zur Lage der Asymptote und zum asymptotischen Verhalten erforderlich, die etwa zu folgenden Aussagen führen können: 

• Der Graph nähert sich der senkrechten Asymptote an der Stelle x_P immer weiter an.
• Der Graph schmiegt sich der senkrechten Asymptote an der Stelle x_P immer mehr an.

Zur vollständigen Beschreibung des asymptotischen Verhaltens sind auch Aussagen zur Veränderung der y-Werte erforderlich, etwa: y strebt gegen plus Unendlich.

Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen lässt sich an einem gegebenen Graphen nur als eine Vermutung formulieren, da über den weiteren Verlauf des Graphen keine sicheren Aussagen gemacht werden können, sofern die Funktionsgleichung nicht bekannt ist. Auf der x-Achse müssen Veränderungen der x-Werte ausgehend vom Ursprung nach rechts und nach links betrachtet werden. Dabei sind drei Fälle für das Verhalten der y-Werte zu unterscheiden, wobei der zweite Fall ein Spezialfall des dritten ist:

1. Die y-Werte streben gegen plus oder minus unendlich.
2. Die y-Werte streben gegen eine waagerechte Asymptote.
3. Die y-Werte streben gegen eine asymptotische Funktion.

Im Fall B und im Fall C, der erst in Kl. 11 behandelt werden sollte, sind auch Aussagen zum Verhalten des Graphen erforderlich. Analog zur Beschreibung des Verhaltens an Polstellen sollten auch hier Formulierungen zum Graphen und zu den y Werte erfolgen, zum Beispiel bei Betrachtungen zur Funktion y = x^{− 1} in folgender Weise:

• Wenn x gegen plus unendlich strebt, schmiegt sich der Funktionsgraph immer mehr an die x-Achse an.
• Wenn x gegen plus unendlich strebt, werden die Funktionswerte immer kleiner und streben gegen Null.

Mit dynamischen Betrachtungen an Funktionsgraphen können auch Betrachtungen zum Grenzwert einer Funktion an einer Stelle und damit zur Stetigkeit beziehungsweise Unstetigkeit der Funktion an dieser Stelle erfolgen, die erst in Kl. 11 benötigt werden.

Es können weiterhin die Wachstumseigenschaften zweier Funktionen miteinander verglichen werden. So kann man am Graphen feststellen, ob eine Funktion in einem Intervall schneller (stärker) wächst als eine andere.