Bedeutungen der Begriffe in der Mathematik

Der Begriff Maßstab wird in der Mathematik nur bei der Eintafelprojektion eines Köpers zur Angabe der Höhe der Punkte über der Projektionsebene verwendet (Höhenmaßstab). Er wird ansonsten in der Mathematik nicht definiert, da er Beziehungen zwischen mathematischen und außermathematischen Objekten beinhaltet.
Dies betrifft auch die mit dem Begriff Maßstab verbundenen Begriffe Verhältnis und Größe. In der Mathematik wird lediglich der Begriff Streckenverhältnis als Quotient der Längen zweier Strecken erklärt, der grundlegend für die Ähnlichkeit ist. Der Maßstab im geographischen Sinne ist eine spezielle Form eines Streckenverhältnisses.
Auf den Begriffen Verhältnis und Größe bauen allerdings solche Gebiete der Schulmathematik wie Proportionalität und Prozentrechnung auf, die ebenfalls zwischen Mathematik und Wirklichkeit angesiedelt sind. Z. B. ist das dabei verwendete Zeichen  in der Mathematik nicht erklärt. Beim Umgang mit Maßstäben wird die direkte Proportionalität verwendet.

Der Begriff Ähnlichkeit kann in der Mathematik auf zwei Arten definiert werden. Die figurgeometrische Definition über die Gleichheit von Winkeln und Streckenverhältnissen ist allerdings nur für ebene geradlinig begrenzte Figuren möglich. Die abbildungsgeometrische Definition über die Existenz einer Ähnlichkeitsabbildung (Zusammensetzung aus einer Bewegung und einer zentrischer Streckung) gilt für beliebige Figuren.

Im Mathematikunterricht kann die Ähnlichkeit auch als Verallgemeinerung der maßstäblichen Vergrößerung bzw. Verkleinerung von Figuren eingeführt werden. Dieser Weg ist eine gewisse „Verbindung“ aus den beiden mathematischen Zugängen und knüpft an die Kenntnisse und Vorstellungen der Schüler zum Maßstab in der Geographie an. Er sollte deshalb in der Schule verwendet werden. Die Gleichheit der Winkel bei zueinander ähnlichen ebenen Figuren kann man dabei in der Realschule mit in die Begriffserklärung einbeziehen und im Gymnasium für Spezialfälle auch aus der Verhältnisgleichheit der Strecken beweisen.

Bedeutungen der Begriffe außerhalb der Mathematik

Als Maßstab bezeichnet man in der Geographie und der Technik das Verhältnis zwischen der abgebildeten Größe auf einer Karte, einem Plan oder bei einem Modell und der entsprechenden Größe in der Wirklichkeit. Ein Maßstab wird in der Geographie immer als Verhältnis in der Form „1 : n“ angeben. Die Zahl n wird als Maßstabszahl bezeichnet und gibt an, wie viel Einheiten in Wirklichkeit einer Einheit auf der Karte entsprechen.
Neben dieser Bedeutung wird das Wort Maßstab noch verwendet für eine vorbildhafte Norm, mit der Leistungen von Menschen beurteilt werden (Er hat Maßstäbe gesetzt,) und (selten) für ein Lineal mit einer maßstäblichen Einteilung.

Der Begriff Verhältnis bedeutet allgemein eine Beziehung, bei der zwei Dinge oder zwei Sachverhalte miteinander verglichen werden. In den Naturwissenschaften wird dazu der Quotient zweier Größen gebildet. Bei nichtgleichartigen Größen (z. B. Weg und Zeit, Masse und Preis) bedeutet dies eine Normierung der einen Größe (im Zähler) auf eine Einheit der anderen Größe (im Nenner). Bei gleichartigen Größen ist das Verhältnis dimensionslos.
Die andere Bedeutungen des Wortes Verhältnis als Beziehung zwischen Menschen haben keine gemeinsamen Bedeutungen mit der Verwendung in der Mathematik.

Zwei Dinge werden als einander umgangssprachlich ähnlich bezeichnet, wenn sie in bestimmten Merkmalen übereinstimmen. (ähnliche Gedanken, ähnliche Bilder). Man sagt, zwei Personen sind einander ähnlich, wenn sie sich im Aussehen nur wenig unterscheiden. Sie können dabei gleichgroß (Zwillinge) oder unterschiedlich groß (Mutter und Tochter) sein.

Bei Vergrößerungen oder Verkleinerungen von ebenen oder räumlichen Objekten spielen die Winkel keine vordergründige Rolle, da es sich oft um rechte Winkel handelt.

Bei Vergrößerungen oder Verkleinerungen haben beide Objekte ein unterschiedliches Wesen. Eines ist immer das Original, d.h. die Realität, das andere ist ein neu geschaffenes, künstliches Objekt, das aus einem anderen Material besteht (z. B. Papier) und als Vergrößerung oder Verkleinerung einen bestimmten Zweck erfüllt. Bei den mathematischen Begriffen Bild und Original, die bei Abbildungen und so auch in der Ähnlichkeit verwendet werden, sind beide Objekte von gleichem Status, es handelt sich in beiden Fällen um mathematische Figuren. Sie können ihre Rolle auch tauschen, wenn man die inverse Abbildung betrachtet.

Die Ähnlichkeit ist eine symmetrische Relation. Bezieht man aber den Ähnlichkeitsfaktor in die Betrachtungen ein (was bei dem Weg über Vergrößerungen und Verkleinerungen sinnvoll ist), so ergibt sich der Kehrwert des Faktors, wenn man die Seiten der Relation vertauscht (wenn F₁ ~ F₂ mit dem Faktor k, so ist F₂ ~ F₁ mit dem Faktor 1/k).