Bedeutung und Verwendung der Begriffe und Verfahren in der Mathematik und im Mathematikunterricht

Projektion und Axonometrie sind zwei verschiedene Zugänge zur Darstellung von Körpern.

Die Projektion ist eine Abbildung von Körpern in eine Ebene. Die Klassifizierung der Projektionsarten ergibt sich aus dem Verlauf der Projektionsgeraden. Man unterscheidet zwei Arten, die Zentralprojektion, bei der alle Projektionsgeraden durch einen Punkt gehen, und die Parallelprojektion, bei der alle Projektionsgeraden parallel zueinander sind. Bei der Parallelprojektion unterscheidet man weiterhin je nach dem Einfallswinkel der Projektionsgeraden auf die Ebene die schräge Parallelprojektion und die senkrechte Parallelprojektion, die auch als Normalprojektion bezeichnet wird. Das Bild bei einer Projektion entspricht einem Schattenbild eines Kantenmodells des Körpers.
In der Darstellenden Geometrie werden Verfahren zur zeichnerischen Darstellung von Geraden, Ebenen, Körpern, Körperschnitten und Durchdringungen entwickelt und die Projektive Geometrie stellt analytischen Methoden für diese und andere Darstellungen bereit.

Beim Verfahren der Axonometrie wird ein geeignetes rechtwinkliges Koordinatensystem (räumliches Dreibein, s. Abb. oben) in den Körper gelegt und es wird durch eine Vorschrift angeben, wie dieses Koordinatensystem in der Ebene darzustellen ist. Aus den Koordinaten der Punkte im Raum ergeben sich dann ihre Bilder in der Ebene. Es gibt folgende Vorschriften, die durch die Verhältnisse der Maßstäbe auf den Achsen und die Winkel der Achsen mit einer horizontalen Linie gekennzeichnet und die durch DIN-Normen festgelegt sind.

Vorschrift                     e_x : e_y : e_z    α        β        γ

Isometrie                      1 : 1 : 1      30°    30°    90°

Dimetrie                       0,5 : 1 : 1    42°     7°      90°

Kabinett-Projektion    0,5 : 1 : 1    45°     0°      90°

Kavalier-Projektion      1 : 1 : 1      45°     0°      90°

Aus der Tabelle ist zu erkennen, dass die Bezeichnung Kavalierprojektion in der Schule und in der Technik unterschiedlich verwendet wird. Die in der Schule verwendetet Vorschrift für Schrägbildzeichnungen entspricht der Kabinett-Projektion im Technischen Zeichnen.

Den Zusammenhang zwischen beiden Zugängen vermittelt der Satz von Pohlke[1], nach dem sich zu jeder beliebigen axonometrischen Darstellung eines Körpers eine Parallelprojektion bestimmen lässt, deren Bild mit der Darstellung übereinstimmt. So entspricht die in der Tabelle angegebene Dimetrie einer Normalprojektion. Es ist also nicht möglich, alleine aus der Existenz „schräger Linien“ in einer räumlichen Darstellung eines Körpers zu entscheiden, ob es sich um eine schräge oder eine senkrechte Parallelprojektion handelt.

Im Mathematikunterricht wurden in den neuen Bundesländern bis 1989 Elemente der Darstellenden Geometrie systematisch behandelt, danach ist dieses Teilgebiet der Mathematik nicht mehr inhaltlicher Bestandteil des Mathematikunterrichts. Die Axonometrie war ein Inhalt des früheren Faches Technisches Zeichnen und ist es z. T. heute im Fach AWT.

Bedeutungen und Verwendungen außerhalb der Mathematik

Unter Projektion versteht man im Alltag die vergrößerte Darstellung eines ebenen Bildes
(z. B. einer Folie, eines Dias) mithilfe eines optischen Gerätes (Projektor, Beamer) auf eine Projektionsfläche. 

Die Verwendung von Verfahren der Darstellenden Geometrie und Axonometrie hat in der beruflichen Praxis an Bedeutung verloren, da heute räumliche Darstellungen mithilfe informationsverarbeitender Technik (CAD) leicht erzeugt werden können.

[1] K. W. Pohlke, 1810 – 1876, Professor für Darstellende Geometrie in Berlin