Zur Einführung der Bedeutung des Wortes „Funktion“ in der Mathematik

Unmittelbar vor der Behandlung der linearen Funktionen in Klasse 8 wird mit den Schülern die Bedeutung des Wortes „Funktion“ in der Mathematik erarbeitet. Dabei sollte an die bisherige Entwicklung der inhaltlichen Vorstellungen zum Funktionsbegriff in den Entwicklungsphasen 1 – 3 (vgl. Bestandteile) angeknüpft werden.

Es sollte deshalb vor den linearen Funktionen in einem entsprechenden zeitlichen Umfang eine möglichst aspektreiche Ausbildung des Funktionsbegriffs beim Schüler erfolgen, wobei insbesondere an die Entwicklungsphase im Zusammenhang mit der Behandlung der direkten und umgekehrten Proportionalität angeknüpft werden sollte.

Zur Anknüpfung an das Wissen und Können zur Proportionalität

Direkt proportionale Zusammenhänge können mit Gleichungen der Form y = mx mit m > 0  und x >= 0 beschrieben werden. Um eine enge Verbindung zum Wissen und Können der Schüler zur Proportionalität herzustellen, sollte im Unterschied zur üblichen Vorge­hensweise in vielen Schulbüchern bei der Behandlung der Funktion y = mx zunächst eine Beschränkung auf m > 0 vorgenommen werden. Eine Funktion y = mx mit m < 0 kann nicht als proportionaler Zusammenhang angesehen werden, da mit wachsendem x die y-Werte kleiner werden. Es gibt weiterhin kaum praktische Beispiele für Zusammenhänge, die durch eine Gleichung y = mx mit m < 0 beschrieben werden können. Negative Anstiege sind aus Sicht der Anwendungen erst bei Funkti­onen mit der Gleichung y = mx + n sinnvoll. Außerdem kann so eine schrittweise Steigerung der An­forderungen erfolgen.

Zur grafischen Darstellung von linearen Funktionen

Die grafische Darstellung linearer Funktionen sollte vor allem unter Verwendung der Bedeutung des Anstiegs erfolgen, um die Schüler an dynamische Betrachtungen zu gewöhnen. Dazu muss der Begriff des Anstiegsdreiecks allgemein und sicher angeeignet werden. Außer den oft verwendeten dynamischen Begriffen Anstieg, wachsen und fallen, sollten zur sprachlichen Vielfalt auch die syn­onymen Begriffe Steigung, steigen, vergrößern, größer werden, kleiner werden, verringern oder sinken verwendet werden.

Zum Begriff der linearen Funktion

Oft wird die Funktion y = n als Spezialfall einer linearen Funktion angesehen. Dies ist aus fachlicher Sicht nicht gerechtfertigt. Die linearen Funktionen sind ein Spezialfall der Polynomfunktionen. Die Gleichung einer Polynomfunktion (bzw. eines Polynoms oder einer ganzrationalen Funktion) n-ten Grades lautet. y = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1 + … a₁x + a₀ mit a_i, x aus R und a_n ≠ 0. Eine Funktion mit der Gleichung y = mx + n ist ein Polynom 1. Grades, wenn m ≠ 0 ist. Die Funktion y = n ist ein Polynom 0. Grades.

Auch bei einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = ax² + bx + c mit x aus R (einem Polynom 2. Grades) muss a ≠ 0 vorausgesetzt werden, d. h. eine lineare Funktion ist auch kein Spezialfall einer quadratischen Funktion.