Zur Behandlung der Funktionen in den Bildungsgängen

An Regionalen Schulen sollten Betrachtungen zu Exponentialfunktionenauf zeitliche Prozesse, d.h. auf zeitlich Wachs­tums- und Abnahmevorgänge, beschränkt bleiben, da diese die Hauptanwendungen von Exponenti­alfunktionen im Alltag und in den Naturwissenschaften sind. Wegen der unterschiedlichen Eigenschaften und auch Begriffsbildungen sollten Wachstums- und Abnahmeprozesse getrennt betrachtet werden. Mit den zahlreichen möglichen Anwendungen zu exponentiellen Wachstums- bzw. Abnahmeprozessen ist das Arbeiten mit Funktionen auf inhaltlicher Ebene sehr gut möglich.

Als Funktionsgleichung zur Beschreibung des Wachstums einer Größe y sollte folgende Gleichung verwendet werden.

y = f(t) = a ∙ b^t mit a, b, t  aus R, a > 0, b > 1

Dabei wurde zur Bezeichnung des Faktors in Analogie zu den quadratischen und Potenzfunktionen der Buchstabe a, der hier auch den Anfangswert bedeutet, verwendet. Für die Basis wurde der Buchstabe b und für unabhängige Variable der Buchstabe t (für die Zeit) verwendet.

Die Basis b wird als Wachstumsfaktor und der Prozentsatz p %, mit b = 1 + p %, als prozentuale Wachstumsrate bezeichnet.

Eine analoge Gleichung kann für Abnahmeprozesse aufgestellt werden, wobei b, mit 0 < b < 1, als Abnahmefaktor und p %, mit b = 1 – p%, als Abnahme- oder Zerfallsrate bezeichnet werden können.

Im Unterschied zu diesen Modellierungen sollte die Expo­nentialfunktion allgemein durch die Gleichung definiert werden

f(x) = b^x, b, x aus R, b > 0, b ≠ 1,.

Dies wird im Realschulbildungsgang nicht für erforderlich gehalten.

Im gymnasialen Bildungsgang sollten die Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion eingeführt werden. Als umkehrbarer realer Zusammenhang eignet sich der Zusammenhang von Höhe und Luftdruck.

Zum Änderungsverhalten von Exponentialfunktionen

Das Änderungsverhalten kann im Vergleich mit den linearen Funktionen untersucht werden. Mit Blick auf das weitere Arbeiten mit Funktionen ist im gymnasialen Bildungsgang eine allgemeine Beschreibung der Eigenschaften durch Funktionalgleichungen sinnvoll.