Zum Lösen von Sachaufgaben zur Proportionalität

Bei allen entsprechenden Sachaufgaben muss zunächst die Art des Zusammenhangs zwischen den Größen untersucht werden. Dazu gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten. Man kann zum einen einander zugeordnete Wertepaare betrachten und sich fragen: "Was bleibt gleich, der Quotient oder das Produkt der beiden Größen?" Die zweite Möglichkeit wäre die Durchführung dynamischer Betrachtungen. Diese sollten generell mit der Frage beginnen: "Wie ändert sich die eine Größe bei Änderung der anderen?“ Diese dynamischen Betrachtungen sollten zunächst qualitativ erfolgen, indem Formulierungen der Form „Je … desto …“ verwendet werden. Diese Betrachtungen zur Monotonie sind zur Feststellung des Zusammenhanges notwendig aber nicht hinreichend und müssen deshalb durch quantitative dynamische Betrachtungen der folgenden Art ergänzt werden: "Wie ändert sich die eine Größe, wenn ich die andere verdopple oder halbiere?“ Diese beispielhaften quantitativen Überlegungen sollten als hinreichende Kriterien angesehen werden.

Es sollte darauf verzichtet werden, eine vollständige Orientierungsgrundlage zum Lösen der Sachaufgaben zu vermitteln, die sämtliche Möglichkeiten und Einzelschritte für das Lösen von Sachaufgaben zur direkten und indirekten Proportionalität erfasst. Eine solche Handlungsvorschrift wäre auf Grund des begrenzten Aufgabenfeldes zwar möglich, ist aber nicht zweckmäßig, da die Vorschrift infolge der zahlreichen Verzweigungen sehr unübersichtlich ist, der Eindruck entsteht, dass das Lösen von Sachaufgaben zur Proportionalität nach Vorschrift erfolgen kann und von den verschiedenen Lösungsmöglichkeiten nur eine genannt werden kann.

Die Orientierungen zum Lösen von Aufgaben zur Proportionalität sollten in die allgemeinen Schritte zum Lösen von Sachaufgaben, die die Schüler aus dem bisherigen Unterricht kennen, eingeordnet werden. Dazu sollten spezielle Hinweise zum Finden von Lösungsideen gegeben werden.

Zur Verwendung des Dreisatzes

Sachaufgaben zur direkten Proportionalität sollten vor allem mit dem Dreisatz gelöst werden. Die Anwendung des Dreisatzes bzw. das so genannte isomorphe Schließen beim Lösen von Sachaufgaben ist eine elementare und grundlegende Lösungsmethode, die den Schülern bereits aus der Grundschule bekannt ist (dort oft als Schließen von einer Vielheit auf eine andere Vielheit bezeichnet). Sie sollte durch die Schüler im Stoffgebiet Proportionalität wiederholt und sicher angeeignet werden. Das Arbeiten mit dem Dreisatz sollte deshalb möglichst bereits zu Anfang des Stoffgebietes eingeführt und im Laufe seiner Behandlung ständig gefestigt werden.

Das allgemeine Vorgehen bei der Anwendung des Dreisatzes, das auch für andere Stoffgebiete (z. B. Prozentrechnung) von Bedeutung ist, besteht in folgenden Schritten:

• Der so genannte erste Satz bedeutet ein Ausgehen vom Gegebenen (Vorwärtsarbeiten) und stellt die Beziehung zwischen einem gegeben Größenpaar dar.
• Der wesentliche Gedanke des zweiten „Satzes“ besteht in der Rückführung auf eine Einheit einer der Größen (bzw. eines geeigneten Vielfachen dieser Einheit). Dabei orientiert man sich im Sinne eines zielgerichteten Arbeitens an der Größe, von der zwei Werte bekannt sind und auch an dem konkreten dritten Wert.
• Der dritte „Satz“ beinhaltet den Übergang von der ermittelten Einheit der einen Größe (und dem ihr zugeordneten Wert der anderen Größe) zu einem bestimmten Vielfachen dieser Größe.

Sachaufgaben zur umgekehrten Proportionalität sollten möglichst nicht mit dem Dreisatz gelöst werden, sondern durch Betrachtung des Produktes der beiden Größen.