Zu den Begriffen x-Wert, Argument, Stelle, y-Wert und Funktionswert

Zur Bezeichnung von x-Werten werden die Begriffe Argument und Stelle verwendet. Im gymnasialen Bildungsgang sollte mit Blick auf die Oberstufe häufiger der Begriff Stelle benutzt werden, wobei aber folgende Begriffsbeziehungen auszubilden sind:

• Der Begriff Stelle ist stärker an die grafische Darstellung der Funktion gebunden. Stellen sind alle Werte auf der x-Achse.
• Eine Stelle liegt immer auf der x-Achse. Punkte des Graphen oder y-Werte werden nicht als Stel­len im mathematischen Sinne bezeichnet.
• Eine Stelle ist im Unterschied zur üblichen Begriffsverwendung im Alltag zur Bezeichnung eines Ortes kein Punkt auf der x-Achse, sondern nur die x-Koordinate des Punktes. (Dies entspricht der Bezeich­nung der Punkte auf der x-Achse durch Zahlen, obwohl eigentlich Zahlenpaare verwendet werden müssten.)
• Ein Argument gehört stets zum Definitionsbereich, d. h. jedes Argument ist auch eine Stelle.
• Eine Stelle muss nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören, d. h. nicht jede Stelle ist ein Argument. Das sind Stellen, an denen f nicht definiert ist, wie etwa eine Polstelle oder eine andere Unstetigkeitsstelle.

Die Begriffe y-Wert und Funktionswert sollten synonym verwendet werden. Funktionswerte werden mit y bzw. mit f(x) bezeichnet, wobei die Variable f die Funktion bezeichnet. Es folgende Sprechweisen möglich: „f(x) ist der Funktionswert an der Stelle x.“ oder „f(x) ist der Wert der Funktion f an der Stelle x.“

Zu den Begriffen Definitionsbereich und Wertebereich

Bereits vor der expliziten Behandlung von Funktionen wurden die Schüler bei der Behandlung von Gleichungen mit dem Problem konfrontiert, dass für die verwendeten Variablen immer ein Grundbereich angegeben werden muss. Wird er nicht explizit angegeben, so ist immer der größtmögliche Bereich gemeint. Es wurden für dieselbe Gleichung bereits verschiedene Grundbereiche betrachtet. Weiterhin ist den Schülern bekannt, dass die Gleichung für alle Werte der Variable definiert sein muss. Im Zusammenhang mit der Behandlung von Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen wurden entsprechende Betrachtungen zum Definitionsbereich der Terme eingestellt.

Der Begriff „Definitionsbereich einer Funktion“ sollte in enger Beziehung zu den vorherigen Betrachtungen und Bezeichnungen bei Termen und Gleichungen in das semantische Netz eines Schülers als „Menge aller x-Werte, für die die Funktion definiert ist“ eingeordnet werden.

Das Verständnis für den Begriff „Wertebereich“ für die Menge der möglichen Funktionswerte einer Funktion ist mit dem Problem verbunden, dass aus der Bezeichnung „Werte…“ nicht hervorgeht, ob es sich um x-Werte oder y-Werte handelt. Während Betrachtungen zum Definitionsbereich direkt an der Funktionsgleichung durchgeführt werden können und bei einigen Funktionen (z. B. Potenzfunktionen mit negativem Exponenten) zur Arbeit mit der Funktion notwendig sind, sind für die Bestimmung des Wertebereiches einer Funktion oft Kenntnisse über die Funktion erforderlich, teilweise müsste sogar eine Kurvendiskussion (z. B. Betrachtungen im Unendlichen) durchgeführt werden.

Die beiden Begriffe Definitionsbereich und Wertebereich, die oft in einem Atemzug genannt werden, sind also von unterschiedlicher semantischer Relevanz, was einen Teil der Probleme, die Schüler damit haben, erklären könnte. Der Begriff Definitionsbereich ist wesentlich wichtiger und sollte deshalb auch häufiger und eigenständig verwendet werden.

Zum Begriff Nullstelle

Die Wörter Nullstelle einer Funktion und Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse sollten im semantischen Netz der Schüler eng verbunden sein, obwohl rein formal beides nicht gleichgesetzt werden kann. Eine Nullstelle ist nur die x-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen. Dies muss nicht Gegenstand langer Diskussionen seien, da die Schüler bei der Angabe eine Nullstelle ohnehin nur einen x-Wert angeben. Zudem werden üblicherweise die Punkte auf der x- und der y-Achse nur mit einer Zahl bezeichnet, da die Achsen als Geraden (Zahlengeraden) aufgefasst werden, die eindimensional sind.

Bei der Einführung des Begriffs Nullstelle im Rahmen der Behandlung der linearen Funktionen in Klasse 8 sollte der Begriff gleich allgemein ausgebildet werden, indem auch Funktionsgraphen anderer Funktionen betrachtet werden. Als Erklärung könnte die Formulierung verwendet werden, dass eine Nullstelle der x-Wert des Schnittpunktes des Graphen der Funktion mit der x-Achse ist.